\section{不变因子}

\begin{frame}{$\symbf{\lambda}$-矩阵的标准形的唯一性}
  这节我们来证明
    \begin{theorem}\label{177}
      $\lambda$-矩阵的标准形是唯一的。
\pause
      也就是说，任意的$\lambda$-矩阵等价于惟一一个形如
\[\tag{1}
  \begin{pmatrix}
    d_{1}(\lambda) & & &  \\
  & d_{2}(\lambda) & & \\
& & \ddots & \\
& &&  d_{r}(\lambda) & \\
& & && 0_{(s-r)\times (n-r)} 
\end{pmatrix}
\]
的矩阵，其中$d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda)$ 是首一多项式， 且 $d_{1}(\lambda) \mid d_{2}(\lambda)\mid \cdots \mid d_{r}(\lambda)$. 
\end{theorem}
\pause
\begin{definition}
  标准形(1)的主对角线上非零元素 $d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{r}(\lambda)$ 称为 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的\emph{不变因子} (invariant factor)。全部不变因子放在一起我们有时也说成是不变因子组。
\end{definition}
%\pause
%对数字方阵$A$, $\lambda$-矩阵 $\lambda E-A$称为$A$的\emph{特征矩阵}，$\lambda E-A$的不变因子也称为$A$的不变因子。
%由于初等变换不改变$\lambda$-矩阵的秩（见下面的定理~\ref{132}），$n$阶数字矩阵$A$的特征矩阵$\lambda E-A$总是满秩的（即$\rank (\lambda E-A)=n$, 因为$\det (\lambda E-A)\neq 0$），从而$\lambda E-A$的标准形的主对角线上都是非零元素，这样$A$有$n$个不变因子。

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{observation*}
  \begin{enumerate}
    \item 在具体的计算中不难发现$d_1(\lambda)$就是$A(\lambda)$的所有元素的首一最大公因式。
      从我们化简至标准形所做的辗转相除的过程不难相信这点一般地成立。
    \item 若$A(\lambda)$是满秩的$\lambda$-方阵，则$\prod_{i=1}^r d_i(\lambda)$与$A(\lambda)$的行列式相差个常数，
      因为初等矩阵的行列式是非零常数。
  \end{enumerate}
\end{observation*}

一般地，不变因子可由所谓的行列式因子确定。
%为了证明$\lambda$-矩阵的标准形的唯一性，我们引入

\begin{definition}
  设 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 的秩为 $r$, 
  对于正整数 $k$ ($1 \leqslant k \leqslant r$), $ A(\lambda)$ 中必有非零的 $k$阶子式\verify， 
  $ A(\lambda)$ 中全部 $k$ 阶子式的首一的最大公因式 $D_{k}(\lambda)$ 称为 $ A(\lambda)$ 的 \emph{$k$ 阶行列式因子} ($k$-th determinant factor)。
\end{definition}

\pause
由定义可知，对于秩为 $r$ 的 $\lambda$-矩阵，行列式因子一共有 $r$ 个。

\begin{example}
  考虑$A(\lambda)=\begin{pmatrix}
    \lambda^3-\lambda & 2\lambda^2 \\ \lambda^2+5\lambda & 3\lambda
  \end{pmatrix}$. 用$\gcd$表示取首一最大公因式。显然$A(\lambda)$的秩为$2$. 我们有
  \[
    \begin{aligned}
      D_1(\lambda)&= \gcd( \lambda^3-\lambda, 2\lambda^2, \lambda^2+5\lambda, 3\lambda )= \lambda,\\
      D_2(\lambda)&= \gcd( \det(A(\lambda)) )=\gcd(\lambda^2(\lambda^2-10\lambda-3))= \lambda^2(\lambda^2-10\lambda-3).
    \end{aligned}
  \]
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{example}
  标准形 (1) 的$r$个行列式因子如下：第$k$ ($1\leqslant k\leqslant r$) 个行列式因子为
  \[
    d_1(\lambda)d_2(\lambda)\cdots d_k(\lambda).
  \]
  诚然，容易发现，如果标准形 (1) 的一个 $k$ 阶子式包含的行与列的标号不完全相同， 
  那么此子式中非零元素少于$k$个，从而有零行，这样这个 $k$ 阶子式一定为零。
  因此， 为了计算 $k$ 阶行列式因子，只要看由 $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{k}$ 行与 
  $i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{k}$ 列 ($1 \leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots<i_{k} \leqslant r$)
  组成的 $k$ 阶子式就行了，而这个 $k$ 阶子式等于
\[
  d_{i_{1}}(\lambda) d_{i_{2}}(\lambda) \cdots d_{i_{k}}(\lambda).
\]
显然$i_j\geqslant j$ ($j=1,\cdots,k$), 故
$d_{i_{1}}(\lambda) d_{i_{2}}(\lambda) \cdots d_{i_{k}}(\lambda)$
可以被$d_1(\lambda)\cdots d_k(\lambda)$整除。
因此这种 $k$ 阶子式的首一最大公因式就是
\[
  d_{1}(\lambda) d_{2}(\lambda) \cdots d_{k}(\lambda).
\]
\end{example}

行列式因子的好处在于它在初等变换下是不变的。
\begin{theorem}\label{132}
  等价的 $\lambda$-矩阵具有相同的秩与相同的各阶行列式因子。
\end{theorem}

先承认这个结论，我们来证明标准形的唯一性。

\end{frame}


\begin{frame}


\begin{proof*}[定理~\ref{177}~的证明]
设 (1) 是 $ A(\lambda)$ 的标准形。 由于 $ A(\lambda)$ 与 (1) 等价， 它们有相同的秩与相同的行列式因子， 
\pause
因此， $ A( \lambda)$ 的秩就是标准形的主对角线上非零元素的个数 $r$; 
\pause
$ A( \lambda)$ 的 $k$阶行列式因子就是
\[\tag{2}
D_{k}(\lambda)=d_{1}(\lambda) d_{2}(\lambda) \cdots d_{k}(\lambda), \quad k=1,2, \cdots, r .
\]
\pause
于是
\[\tag{3}
d_{1}(\lambda)=D_{1}(\lambda),\quad d_{2}(\lambda)=\frac{D_{2}(\lambda)}{D_{1}(\lambda)},\quad \cdots, \quad d_{r}(\lambda)=\frac{D_{r}(\lambda)}{D_{r-1}(\lambda)} .
\]
\pause
这说明 $ A(\lambda)$ 的标准形 (1) 的主对角线上的非零元素是被 $ A(\lambda)$ 的行列式因子所唯一决定的，所以 $ A(\lambda)$ 的标准形是唯一的。 
\end{proof*}


\begin{example}
  令$A(\lambda)=\begin{pmatrix}
    \lambda & 0\\
    0 & (\lambda-1)^2
  \end{pmatrix}$. 显然$D_1(\lambda)=1, D_2(\lambda)=\lambda(\lambda-1)^2$.
  因此
  \[
    d_1(\lambda)=1, \quad d_2(\lambda)=\lambda(\lambda-1)^2.
  \]
  这样$A(\lambda)$
  的标准形为$\begin{pmatrix}
    1 \\ & \lambda(\lambda-1)^2
  \end{pmatrix}.$
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{theorem}
两个 $\lambda$-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子， 当且仅当它们有相同的不变因子。
\end{theorem}
\pause
\begin{proof}
等式 (2) 与 (3) 给出了 $\lambda$-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系。 这个关系式说明，行列式因子与不变因子是相互确定的。 因此， 两个矩阵有相同的各阶行列式因子，就等价于它们有相同的各阶不变因子。
而由标准形的唯一性易知两个$\lambda$-矩阵等价当且仅当它们有相同的标准形，或者说有相同的不变因子。
%充分性是很明显的。 事实上， 若 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 有相同的不变因子， 则 $ A(\lambda)$与 $ B(\lambda)$ 和同一个标准形等价，因而 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 等价。 
\end{proof}
\pause
\begin{observation*}
由 (3) 可以看出，在 $\lambda$-矩阵的行列式因子之间，有关系
\[\tag{4}
D_{k}(\lambda) \mid D_{k+1}(\lambda), \quad k=1,2, \cdots, r-1 .
\]
\end{observation*}

\pause
在计算 $\lambda$-矩阵的行列式因子时， 常常是先计算最高阶的行列式因子。 这样， 由 (4)我们就大致有了低阶行列式因子的范围了。

\pause
\begin{exercise}
  通过计算行列式因子确定练习~\ref{135}~中$\lambda$-矩阵的标准形。
\end{exercise}


第三章引理~\ref{131}~中初等变换不改变矩阵的秩的证明的关键部分依然适用于证明定理~\ref{132}。
\end{frame}


\begin{frame}


\begin{proof*}[定理~\ref{132}~的证明]
我们只需要证明， $\lambda$-矩阵经过一次初等变换， 秩与行列式因子是不变的。
\pause
先考虑行变换。
设 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 经过一次初等变换变成 $ B(\lambda)$, 
 $f(\lambda)$ 与 $g(\lambda)$ 分别是 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 的$k$ 阶行列式因子。
我们断言$B(\lambda)$的任一$k$阶子式总是$A(\lambda)$的$k$阶子式的(系数为多项式的线性)组合%
\footnote{应用Cauthy-Binet公式，这是显然的。}。这里只对初等行变换证明，按三类变换讨论如下：
\pause
\begin{enumerate}
  \item $ A(\lambda) \xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j} B(\lambda)$. 
\pause
    这时 $ B(\lambda)$ 的每个 $k$ 阶子式与 $ A(\lambda)$ 的某个 $k$ 阶子式相差个符号；%， 因此 $f(\lambda)$ 是 $ B(\lambda)$ 的 $k$ 阶子式的公因式， 从而 $f(\lambda) \mid g(\lambda)$.
    \pause
  \item $ A(\lambda) \xrightarrow{r_i\times c}  B(\lambda)$. 
\pause
    这时 $ B(\lambda)$ 的每个 $k$ 阶子式或者等于 $ A(\lambda)$ 的某个 $k$ 阶子式， 或者等于 $ A(\lambda)$ 的某个 $k$ 阶子式的 $c$ 倍；% 因此 $f(\lambda)$ 是 $ B(\lambda)$ 的 $k$阶子式的公因式， 从而 $f(\lambda) \mid g(\lambda)$.
    \pause
  \item $ A(\lambda)\xrightarrow{r_i + r_j\times \varphi(\lambda)}  B(\lambda)$. 
\pause
    这时 $ B(\lambda)$ 中那些包含第 $i$ 行与第 $j$ 行的 $k$ 阶子式和那些不包含第 $i$ 行的 $k$ 阶子式都等于 $ A(\lambda)$ 中对应的 $k$ 阶子式; $ B(\lambda)$ 中那些包含第 $i$ 行但不包含第 $j$ 行的 $k$ 阶子式， 按 $i$ 行分成两部分， 而等于 $ A(\lambda)$ 的一个 $k$ 阶子式与另一个 $k$ 阶子式的 $\pm \varphi(\lambda)$ 倍的和， 也就是 $ A(\lambda)$ 的两个 $k$ 阶子式的组合。 %因此 $f(\lambda)$是 $ B(\lambda)$ 的 $k$ 阶子式的公因式， 从而 $f(\lambda) \mid g(\lambda)$.
    \end{enumerate}
    这样，
    $f(\lambda)$, 作为$A(\lambda)$的$k$阶子式的公因式，
    整除$B(\lambda)$的任一$k$阶子式，从而$f(\lambda)\mid g(\lambda)$.
    对于列变换， 可以完全一样地讨论 (或者，通过转置把关于行的结论搬到列上)，从而得到$f(\lambda)\mid g(\lambda)$.
      这就证明了，如果 $A(\lambda)$ 经过一次初等变换变成 $ B(\lambda)$, 那么 $f(\lambda)\mid g(\lambda)$.
但由初等变换的可逆性， $ B(\lambda)$ 也可以经过一次初等变换变成 $A(\lambda)$,
由上面的讨论， 同样应有：$g(\lambda)\mid f(\lambda)$. 于是$f(\lambda)=g(\lambda)$.
而且，由上面的断言可知当$A(\lambda)$的全部$k$阶子式都是零时，$B(\lambda)$的全部$k$阶子式也都等于零；
反之亦然。
因此， $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 既有相同的各阶行列式因子，又有相同的秩。 
\end{proof*}



\end{frame}



\begin{frame}{$\lambda$-矩阵的可逆性的刻画}

  我们知道，对数字方阵$A$, 下列等价：(1) $A$可逆；(2) $A$的标准形为单位矩阵  (或者说，$A$与单位矩阵等价)；
  (3) $A$可写为一些初等矩阵的乘积。对$\lambda$-矩阵我们有类似的结果。

  \begin{theorem}\label{18C}
  对矩阵 $ A(\lambda)$, 下列等价：
\begin{enumerate}
\item $A(\lambda)$可逆。
\item $A(\lambda)$的标准形为单位矩阵 (或者说，$A(\lambda)$与单位矩阵等价)。
\item $A(\lambda)$  可以表成一些初等矩阵的乘积。  
\end{enumerate}
\end{theorem}
由此又得到矩阵等价的另一等价条件
\begin{corollary}\label{19B}
两个 $s \times n$ 的 $\lambda$-矩阵 $ A(\lambda)$ 与 $ B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为， 存在 $s \times s$ 可逆矩阵 $ P(\lambda)$ 与 $n \times n$ 可逆矩阵 $ Q(\lambda)$, 使得
\[
 B(\lambda)= P(\lambda)  A(\lambda)  Q(\lambda) .
\]
\end{corollary}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof*}[定理~\ref{18C}~的证明]
  (1)$\Rightarrow$(2) 由定理~\ref{0FF}~知
  $| A(\lambda)|$
为一非零数。
这样，
\[
  D_{n}(\lambda)=1.
\]
进而由 
\[
  D_1(\lambda)\mid D_2(\lambda)\mid \cdots \mid D_n(\lambda)
\]
可知， 
\[
  D_{k}(\lambda)=1\quad (k=1,2, \cdots, n), 
\]
从而
\[
  d_{k}(\lambda)=1 \quad (k=1,2, \cdots, n).
\]
这样$A(\lambda)$的标准形为单位矩阵。

(2)$\Rightarrow$(3) 若$A(\lambda)$的标准形为单位矩阵，则存在初等矩阵
$ P_{1},  P_{2}, \cdots,  P_{l},  Q_{1}$, $Q_{2}, \cdots, Q_{t}$ 使得
\[
 A(\lambda)= P_{1}  P_{2} \cdots  P_{l}  E  Q_{1}  Q_{2} \cdots  Q_{t} = P_{1}  P_{2} \cdots  P_{l}  Q_{1}  Q_{2} \cdots  Q_{t}.
\]
这就把 $A(\lambda)$ 表成了一些初等矩阵的乘积。

(3)$\Rightarrow$(1) 这是因为初等矩阵可逆，且可逆矩阵的乘积可逆。
\end{proof*}

\end{frame}

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为$\lambda$-矩阵的不变因子？何为数字方阵的不变因子？
      \pause
    \item 何为$\lambda$-矩阵的行列式因子？这些行列式因子有何关系？
      \pause
    \item $\lambda$-矩阵的行列式因子组与不变因子组如何相互确定？
      \pause
    \item $\lambda$-矩阵的可逆性有哪些刻画？
      \pause
    \item $\lambda$-矩阵的等价性有哪些刻画？
  \end{enumerate}
\end{frame}
